\tema{Sistemas de ecuaciones no lineales}

\intro

\subsection*{M'etodo de Newton}

$x_{k+1} = x_{k} - J^{-1}(x_{k}) F(x_{k})$

Es cuadr'atico.

\subsection*{M'etodo de secante}

$B_{k} (x_{k-1} - x_{k}) = F(X_{k-1}) - F(x_{k})$

\subsection*{M'etodo de Broyden}

$B_{k} (x_{k-1} - x_{k}) = F(X_{k-1}) - F(x_{k})$

donde 

$B_{k} = B_{k-1} + \frac{(J_{k-1} - B_{k-1} S_{k-1}) S^{t}_{k-1}}{S_{k-1}^{t} S_{k-1}}$

con $S_{k-1} = x_{k} - x_{k-1}$ y $J_{k-1} = F(x_{k}) - F(x_{k-1})$

Es super lineal.

\typ

\prop {
Sea $F \in C'(D). F: \Re^{n}\rightarrow \Re^{n}. D$ convexo.

$\exists x^{*} \in D / F(x^{*}) = 0.$

$J(x^{*})$ es no singular, $ || J(x^{*})^{-1}|| \leq \beta$.

r tal que existe una bola $B(x^{*}, r) \subset D$ y $J(x)$ es lipschitz continua 
en la bola ($||g(x) - g(y)|| \leq L ||x - y||$).

Entonces, existe un $\epsilon > 0$ tal que $||\x{0} - x^{*}|| < \epsilon$ donde Newton converge.
}\fl

\prop{
$G: D \rightarrow D. D$ convexo. $G(p) = p$.
Si $G(D) = D, G$ continua, entonces existe $p$ tal que $G(p) = p$.
Si $D = \{\x{i} / a_{i} \leq \x{i} \leq b_{i} \forall i = 1, \hdots, n \}$

Si adem'as $|\frac{\partial G_{i}}{\partial x_{j}}| \leq \frac{k}{n}$ con k < 1 para todo x en D,
entonces el punto fijo es 'unico y $X^{k} = G(X^{k-1})$ converge a p.
}